Билет 4

1) Свободные колебания системы с одной степенью свободы. Интегрирование дифференциального уравнения движения системы.

Колебательное движение механической системы - такое движени, при котором все ее обобщенные координаты или хотя бы одна из них изменяется с неоднократным возрастанием и убыванием.

Свободные колебания системы с одной степенью свободы.

Свободные колебания (собственные колебания) - колебания в любой колебательной системе, происходящие в отсутствие внешнего воздействия.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы:

, где a>0; b0; c>0.

а - обобщенный коэффициент инерции; b - обобщенный коэффициент сопротивления; с - обобщенный коэффициент жесткости.

В случае если система консервативная, т.е. b=0, дифференциальное уравнение движения принимает форму:

, где - круговая или циклическая частота.

Запишем дифференциальное уравнение в виде:

.

C₁ и C₂ - произвольные постоянные, которые мы определим из начальных условий: при t=0 q=q₀, .

Отсюда C₁=q₀; .

Введем новые произвольные постоянные:

;

и представим решение дифференциального уравнения в амплитудной форме:

.

Амплитуда (А) - наибольшее отклонение какой либо точки тела, совершающего колебания, от положения равновесия.

Произвольные постоянные А и выражаются через начальные условия следующим образом:

; .

Зависимость q(t) представлена на рисунке.

Гармонические колебания - колебания, при которых обобщенная координата изменяется во времени по закону синуса или косинуса.

Свободные колебания с одной степенью свободы являются гармоническими.

Характеристики гармонических колебаний:

- круговая, или циклическая частота, измеряемая в секундах в минус первой степени;

- фаза колебаний;

Фаза колебаний - физическая величина, при заданной амплитуде и коэффициенте затухания, определяющая состояние колебательной системы в любой момент времени, или проще: аргумент синуса.

- начальная фаза колебаний;

А - амплитуда колебаний;

Т - период колебаний - время в секундах. за которое фаза колебаний изменится на

.

В инженерной практике используют величину, обратную периоду колебаний, называемую частотой колебаний

и измеряемую в герцах (Гц).

Круговая частота , период колебаний Т и частота не зависят от начальных условий, поэтому их называют собственными характеристиками колебательной системы.

Свойство независимости частоты и периода колебаний от начальных условий - свойство изохронности колебаний - связано с линейностью дифференциального уравнения и, следовательно, с допущением о малости колебаний.

2) Центр удара. Условие отсутствия ударных реакций в опорах вращающегося тела.

Удар - механическое явление при котором происходит конечное измменение скоростей точки системы за очень малый промежуток времени.

Центр удара - точка, в которой приложен импульс при отстутствии ударных реакций подшипников.

Импульс силы (количество движения) - векторная физическая величина, являющаяся мерой действия силы за некоторый промежуток времени.

Для того, чтобы ударные реакции в опорах отсутствовали необходимо, чтобы импульс был перпендикулярен оси вращения тела Oz.

Рассмотрим тело вращающееся вокруг оси z.

Воспользуемся теоремой об изменении количества движения:

В проекции на ось Х:

Воспользуемся теоремой об изменение кинетического момента:

Если центр масс тела находится на оси вращения, то центр удара отсутсвует.

Итак, чтобы при приложении к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, ударного импулься не возникали ударные реакции в опорах, т.е. чтобы существовал центр удара, необходимо и достаточно выполнить следующие условия:

1) ударный импульс должен быть перпендикулярен плоскости, проходящей через ось вращения тела и его центр масс;

2) точка пересечения линии действия ударного импульса с плоскостью, проходящей через ось вращения тела и его центр масс, должна лежать в этой плоскости по одну сторону от оси вращения вместе с центром масс;

3) ударный импульс, произвольной по величине, должен лежать в плоскости, перпендикулярной оси вращения и проходящей через точку О, для которой ось вращения является главной осью инерции тела.