Билет 14

1) Интегрирование дифференциальных уравнений малых колебаний системы с двумя степенями свободы. Уравнение частот.

(очень подробно по учебнику 31. Интегрирование дифференциальных уравнений свободных колебаний в консервативной системе с двумя степенями свободы. Уравнение частот, исследование его корней.)

2) Принцип возможных перемещений.

Принцип возможных перемещений (Лагранжа): Для равновесия механической системы, подчиненной голономным, идеальным, стационарным и неосвобождающим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил приложенных к точкам системы была равна нулю на любом возможном перемещении.

или в декартовых координатах:

.

Положение равновесия - такое положение механической системы, в котором она может находиться сколь угодно долго, если в начальный момент времени система была приведена в это положение с нулевыми скоростями.

Голономная связь - механическая связь, налагающая ограничения только на положения (или перемещения) точек и тел системы.

Идеальная связь - связь у которой .

Связи подразделяются на стационарные и нестационарные в зависимости от того, входит в явном виде время в уравнение связи или нет. Связь, уравнение которой имеет вид , является голономной и стационарной. Для голономной нестационарной связи уравнение будет таким: .

Возможное перемещение - такое бесконечно малое (элементарное) мысленное перемещение, которое допускается, в рассматриваемый момент времени, связями наложенными на точку.

Элементарная работа - возможная работа силы на возможном перемещении.

Докажем необходимость принципа возможных перемещений:

, k=1..N

, k=1..N

для идеальных связей, следовательно:

Докажем достаточность методом от противного:

Предположим, что одна из точек находится не в равновесии.

, но , что противоречит условию.