Билет 26

1) Малые движения системы с линейным сопротивлением. Затухающее неколебательное движение.

Колебательное движение механической системы - такое движени, при котором все ее обобщенные координаты или хотя бы одна из них изменяется с неоднократным возрастанием и убыванием.

Малые колебания - колебания, при которых возвращающая сила, действующая на тело, пропорциональна его отклонению от состояния равновесия, или проще: тип движения механических систем вблизи своего положения устойчивого равновесия.

Устойчивое равновесие - равновесие, при котором малое возмущение системы приводит к ее малому отклонению от состояния равновесия.

Равновесие тела устойчиво:
- если его потенциальная энергия имеет минимальное значение;
- если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями.

Дифференциальное уравнение малых движений системы с линейным сопротивлением имеет вид:

,

где - коэффициент затухания; - круговая или циклическая частота.

а - обобщенный коэффициент инерции; b - обобщенный коэффициент сопротивления; с - обобщенный коэффициент жесткости.

Характерестическое уравнение:

.

Корни характерестического уравнения:

.

Характер движения системы будет существенно зависеть от соотношения между величинами и . Возможны три случая:

1) < - случай малого сопротивления, уравнение имеет комплексно-сопряженные корни;

2) = - случай критического сопротивления (резонанс), уравнение имеет кратные корни;

3) > - случай большого сопротивления, уравнение имеет два вещественных отрицательных корня.

Затухающее неколебательное движение мы имеем в случае критического сопротивления (=) и в случае большого сопротивления (>).

Рассмотрим случай =.

При кратных корнях общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

При начальных условиях t=0 q=q₀, :

C₁=q₀; .

Решение ДУ может обратиться в ноль только один раз, если константы C₁ и C₁ разные знаки. Для этого начальное отклонение и начальная скорость должны иметь разные знаки, и при этом необходимо выполнение условия .

Видно, что движение не имеет колебательного характера и отсутствуют какие-либо признаки периодичности. Такое движение называют апериодическим, а с учетом рассмотрения критического сопротивления - предельно апериодическим.

Теперь рассмотрим случай большого сопротивления (>).

,

где .

Поскольку k<, оба корня характеристического уравнения будут отрицательными.

Общее решение ДУ в этом случае будет иметь вид:

.

При начальных условиях t=0 q=q₀, :

; .

В этом случае движение также имеет апериодический характер, аналогичный представленному на рисунке выше, но с увеличением графики растягиваются вдоль оси абсцисс, поскольку с возрастанием вязкого сопротивления при прочих равных условиях скорость движения убывает.

2) Принцип возможных перемещений.

Принцип возможных перемещений (Лагранжа): Для равновесия механической системы, подчиненной голономным, идеальным, стационарным и неосвобождающим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил приложенных к точкам системы была равна нулю на любом возможном перемещении.

или в декартовых координатах:

.

Положение равновесия - такое положение механической системы, в котором она может находиться сколь угодно долго, если в начальный момент времени система была приведена в это положение с нулевыми скоростями.

Голономная связь - механическая связь, налагающая ограничения только на положения (или перемещения) точек и тел системы.

Идеальная связь - связь у которой .

Связи подразделяются на стационарные и нестационарные в зависимости от того, входит в явном виде время в уравнение связи или нет. Связь, уравнение которой имеет вид , является голономной и стационарной. Для голономной нестационарной связи уравнение будет таким: .

Возможное перемещение - такое бесконечно малое (элементарное) мысленное перемещение, которое допускается, в рассматриваемый момент времени, связями наложенными на точку.

Элементарная работа - возможная работа силы на возможном перемещении.

Докажем необходимость принципа возможных перемещений:

, k=1..N

, k=1..N

для идеальных связей, следовательно:

Докажем достаточность методом от противного:

Предположим, что одна из точек находится не в равновесии.

, но , что противоречит условию.