Билет 27

1) Резонанс при линейном сопротивлении и при его отсутствии.

В случае совпадения частоты возмущающей силы с частотой свободных колебаний (собственной частотой) возникает явление резонанса.

Резонанс при линейном сопротивлении.

,

где f₀ = Q₀/a - амплитуда вынуждающего ускорения; Q₀ - амплитуда обобщенной возмущающей силы Q(t); а - обобщенный коэффициент инерции; p - частота вынужденных колебаний; - коэффициент затухания; - круговая или циклическая частота.

-------- \/ это может быть лишним \/--------

q = q_{общее однородное} + q_{частное неоднородное}

q = q₁ + q₂,

где q₁ - свободные колебания консервативной системы; q₂ - вынужденные колебания.

-------- /\ это может быть лишним /\ --------

Будем искать решение ДУ в виде:

Подставляем найденные значения в ДУ:

Так как , имеем:

и не равны нулю одновременно, следовательно:

Возводим в квадрат, складываем и получаем:

G - амплитуда вынужденных колебаний.

Резонанс при отсутствии линейного сопротивления.

Будем искать решение ДУ в виде:

Так как , имеем:

, .

Фаза колебаний - физическая величина, при заданной амплитуде и коэффициенте затухания, определяющая состояние колебательной системы в любой момент времени, или проще: аргумент синуса.

2) Уравнение Лагранжа 2 рода. Пример.

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения движения несвободной механической системы, составленные в обобщенных координатах.

Рассмотрим движение системы, состоящей из N материальных точек, относительно инерциальной системы отсчета. Наложенные на систему связи — голономные, удерживающие, идеальные. Если некоторые связи не идеальные, то соответствующие им реакции следует добавить к действующим на систему активным силам.

Пример: