Основные положения теории удара.

В курсе теоретической механики теорию удара рассматривают как процесс соударения материальных точек и тел со сравнительно малыми относительными скоростями. Для этого используют модель Гюйгенса-Ньютона, в которой интегрально учитываются потери энергии при наличии местных упругопластических деформаций.

Более точной является физическая модель удара, в которой рассматриваются происходящие во времени местные деформации сплошной среды. Для изучения процессов деформирования при этом привлекают теории упругости, пластичности и распространения волн в теле. При значительных относительных скоростях удара (до нескольких километров в секунду) применяют гидродинамическую или специальную теорию высокоскоростного удара.

В излагаемой ниже теории удара рассматривают такие ударные явления, при которых происходит конечное изменение скоростей точек механической системы за весьма малый промежуток времени "тау", называемый временем удара.

Запишем дифференциальное уравнение движения материальной точки массой m в виде:

и проинтегрируем его в пределах от 0 до "тау":

Ударная сила, действующая на тело, изменяется во времени, как показано на рис. 20.2.

В контакте тел образуются местные упругопластические деформации, зависящие от физических свойств тел. Процесс удара разбивается на две фазы. В первой фазе — фазе деформирования происходит сближение тел в точке А по общей нормали до тех пор, пока нормальная составляющая относительной скорости точки контакта тел не обратится в нуль в момент времени тау1. Фаза деформирования характеризуется импульсом ударной силы S1. Далее начинается вторая фаза — фаза восстановления, при которой тела в месте контакта восстанавливают свою форму вследствие упругих сил. Нормальная составляющая относительной скорости точки контакта меняет знак и возрастает, но из-за пластических деформаций не достигает своего первоначального значения. Импульс ударной силы в этой фазе равен S2.

Введем коэффициент восстановления К, который характеризует свойства материалов соударяющихся тел:

K=S2/S1=S’2/S’1 (20.5)

где S1, S’1, S2, S’2 — импульсы ударных сил в фазах деформирования и восстановления для первого и второго тел соответственно.

Коэффициент восстановления определяют экспериментально. Так как после удара в общем случае полного восстановления формы тел не происходит, то 0<=K<=1. При K=1 удар называют абсолютно упругим и при K=О — абсолютно неупругим, а при 0<K<1 — упругим. В случае, когда K=0, нормальная составляющая относительной скорости точки соприкосновения тел после удара равна нулю и фаза восстановления отсутствует. Оба тела либо движутся совместно, либо одно тело скользит по другому после максимального сближения в точке контакта.

Теорию удара при изложенных допущениях можно применять с достаточным приближением на практике для сравнительно небольших относительных скоростей точек контакта при ударе (до десятков метров в секунду); для компактных соударяющихся тел, близких по форме к сферическим, а также для компактного тела, ударяющегося о полупространство.

Формулы классической механики справедливы и при соударении удлиненных тел, если время «тау» удара в несколько (3-5) раз превышает время Т двойного пробега упругих волн по соударяющимся телам, т. е. «тау»>=(3...5)Т. Это означает, что время удара должно быть велико, чтобы из места соударения не была безвозвратно удалена упругая энергия волнами возмущения.

Например, для стержней Т=2L/с, с=(Е/«ро»)^(1/2), где L, E, «ро» — длина, модуль упругости и плотность стержня. Для стального стержня скорость распространения упругих волн (скорость звука) с=5000м/с. Пусть время удара «тау»=0,001 с, тогда длина стержней, при которых можно использовать данную теорию, должна быть L<=(«тау»*с)/(6...10)=0.5...0,83 м.

На рис. 20.3 представлены экспериментальные зависимости коэффициента восстановления при соударении сфер из одинакового материала (бронзы или свинца), но различной массы и отношения масс, от начальной относительной скорости удара V. Значение коэффициента восстановления K, как видно на рисунке, зависит от V, поэтому выбирают некоторое среднее значение K в определенном диапазоне изменения V. Это среднее значение принимают постоянным (в определенном диапазоне изменения V) и используют при решении практических задач.

Из лекций:

Удар - механическое явление при котором происходит конечное измменение скоростей точки системы за очень малый промежуток времени.

Теория удара рассматривает процессы без пластической деформации.

Ударное трение не подчиняется законам Кулона и решать задачи с учетом трения мы не можем. Приходится пренебрегать ударным трением.

Основные положения теории удара:

1) В теории удара используют ударные импульсы сил (S_уд), т.е. сами силы удара изменяются очень сложно;

2) Перемещениями точек при ударе принебрегаем;

3) Действиями неударных сил принебрегают;

4) Принебрегают ударным трением;

5) Процесс удара разделяют на 2 фазы и вводят коэффициент восстановления;

6) Общие теоремы динамики применяют в интегральной форме.