Билет 8

1) Малые движения системы с линейным сопротивлением. Затухающие колебательные движения.

Колебательное движение механической системы - такое движени, при котором все ее обобщенные координаты или хотя бы одна из них изменяется с неоднократным возрастанием и убыванием.

Малые колебания - колебания, при которых возвращающая сила, действующая на тело, пропорциональна его отклонению от состояния равновесия, или проще: тип движения механических систем вблизи своего положения устойчивого равновесия.

Устойчивое равновесие - равновесие, при котором малое возмущение системы приводит к ее малому отклонению от состояния равновесия.

Равновесие тела устойчиво:
- если его потенциальная энергия имеет минимальное значение;
- если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями.

Дифференциальное уравнение малых движений системы с линейным сопротивлением имеет вид:

,

где - коэффициент затухания; - круговая или циклическая частота.

а - обобщенный коэффициент инерции; b - обобщенный коэффициент сопротивления; с - обобщенный коэффициент жесткости.

Характерестическое уравнение:

.

Корни характерестического уравнения:

.

Характер движения системы будет существенно зависеть от соотношения между величинами и . Возможны три случая:

1) < - случай малого сопротивления, уравнение имеет комплексно-сопряженные корни;

2) = - случай критического сопротивления (резонанс), уравнение имеет кратные корни;

3) > - случай большого сопротивления, уравнение имеет два вещественных отрицательных корня.

Рассмотрим случай малого сопротивления (<).

,

где -условная частота затухающих колебаний системы с одной степенью свободы.

Общее решение дифференциального уравнения малых движений системы с линейным сопротивлением будет иметь вид:

или

- круговая, или циклическая частота, измеряемая в секундах в минус первой степени;

- фаза колебаний;

Фаза колебаний - физическая величина, при заданной амплитуде и коэффициенте затухания, определяющая состояние колебательной системы в любой момент времени, или проще: аргумент синуса.

- начальная фаза колебаний;

А - амплитуда колебаний;

При начальных условиях t=0 q=q₀, :

C₁=q₀; .

Колебания такого вида называют затухающими.

- условный период затухающих колебаний (он больше периода свободных колебаний консервативной системы Т);

- условная амплитуда затухающих колебаний.

В расчетной схеме не учитывались другие виды сопротивлений, кроме линейно-вязкого. Из-за этого колебания должны прекратиться при . Учет сил сухого трения приводит к прекращению колебаний через конечный промежуток времени.

- постоянная времени затухающих колебаний. За каждый промежуток времени условная амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз. Обычно полагают, что по истечении времени, равного , затухающие колебания можно условно считать прекратившимися.

2) Удар точки о неподвижную поверхность. Коэффициент восстановления.

Удар - механическое явление при котором происходит конечное измменение скоростей точки системы за очень малый промежуток времени.

Удар точки о неподвижную поверхность.

Материальная точка массы m падает на гладкую поверхность со скоростью , под углом (угол падения) к нормали (перпендикуляру) к поверхности (см. рисунок). После удара точка имеет скорость , направленную под углом (угол отражения) к нормали. Если , то удар точки о поверхность - косой, если =0 - прямой. Импульс ударной реакции поверхности направлен по нормали к поверхности.

Импульс силы (количество движения) - векторная физическая величина, являющаяся мерой действия силы за некоторый промежуток времени.

Для определения скорости точки после удара и импульса ударной реакции воспользуемся теоремой об изменении количества движения точки, в проекциях на нормаль n и касательную .

Теорема об изменении количества движения (при ударе):

Следовательно: ; .

Отсюда: .

Для определения S и u_n необходимо знать коэффициент восстановления.

Коэффициент восстановления - отношение фазы восстановления к фазе деформирования, или отношение скорости после удара к скорости до удара.

Для определения коэффициента восстановления представим удар точки о поверхность в двух фазах. В начале фазы деформирования скорость точки равна , в конце - . Импульс ударной реакции в этой фазе:

,

где 1- время фазы деформирования; N - нормальная ударная реакции поверхности.

В конце фазы деформирования нормальная составляющая скорости точки равна нулю и (где - качательная составляющая скорости точки).

Фаза восстановления начинается при скорости точки и заканчивается, когда точка покидает поверхность со скоростью . Импульс ударной реакции в этой фазе:

.

Согласно теореме об изменении количества движения точки в проекции на нормаль для первой и второй фаз удара соответственно имеем:

; .

Заметим, что S₁ + S₂ = S. Разделив уравнение S₂ на S_1, получим уравнение для коэффициента восстановления:

.

Коэффициент восстановления определяют экспериментально. Если K=1 удар называют абсолютно упругим и при K=0 - абсолютно неупругим, а при 0<K<1 - упругим. Если K=0 - фаза восстановления отсутствует.

При прямом ударе (=0) коэффициент восстановления можно определить экспериментально:

,

где h₁ - высота падения; h₂ - высота отскока.

При косом ударе :

.

При известном коэффициенте восстановления K можно решить задачу об определении и с помощью дополнительной зависимости:

, так как .