Билет 19

1) Устойчивость положения равновесия консервативной системы с двумя степенями свободы. Критерий Сильвестра.

Строгое определение понятия устойчивости положения равновесия было дано в конце XIX в. А. М. Ляпуновым. Условимся отсчитывать обобщенные координаты q₁, q₂, .., q_n от положения равновесия, т.е. считать их в положении равновесия равными нулю. Выведем систему из положения равновесия, сообщив обобщенным координатам в начальный момент времени возмущения (отклонения q₁₀, q₂₀, .., q_n0, и скорости ). Обозначим обобщенные координаты и их скорости при дальнейшем движении через соответственно.

По Ляпунову, равновесие системы называется устойчивым, если для любых сколь угодно малых положительных чисел можно выбрать 2n других таких положительных чисел что при начальных возмущениях системы, удовлетворяющих условиям , при дальнейшем движении системы будут выполняться неравенства .

В противном случае равновесие будет неустойчивым. Безразличное положение равновесия в соответствии с данным определением относится к неустойчивым, поскольку при наличии начальной скорости система будет удаляться от начального положения.

(подробный ответ из учебника 29. Устойчивость положения равновесия консервативной системы с двумя степенями свободы. Критерий Сильвестра.)

2) Общее уравнение механики. Пример.