Билет 25

1) Малые движения системы с линейным сопротивлением. Затухающее колебательное движение.

Колебательное движение механической системы - такое движени, при котором все ее обобщенные координаты или хотя бы одна из них изменяется с неоднократным возрастанием и убыванием.

Малые колебания - колебания, при которых возвращающая сила, действующая на тело, пропорциональна его отклонению от состояния равновесия, или проще: тип движения механических систем вблизи своего положения устойчивого равновесия.

Устойчивое равновесие - равновесие, при котором малое возмущение системы приводит к ее малому отклонению от состояния равновесия.

Равновесие тела устойчиво:
- если его потенциальная энергия имеет минимальное значение;
- если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями.

Дифференциальное уравнение малых движений системы с линейным сопротивлением имеет вид:

,

где - коэффициент затухания; - круговая или циклическая частота.

а - обобщенный коэффициент инерции; b - обобщенный коэффициент сопротивления; с - обобщенный коэффициент жесткости.

Характерестическое уравнение:

.

Корни характерестического уравнения:

.

Характер движения системы будет существенно зависеть от соотношения между величинами и . Возможны три случая:

1) < - случай малого сопротивления, уравнение имеет комплексно-сопряженные корни;

2) = - случай критического сопротивления (резонанс), уравнение имеет кратные корни;

3) > - случай большого сопротивления, уравнение имеет два вещественных отрицательных корня.

Рассмотрим случай малого сопротивления (<).

,

где -условная частота затухающих колебаний системы с одной степенью свободы.

Общее решение дифференциального уравнения малых движений системы с линейным сопротивлением будет иметь вид:

или

- круговая, или циклическая частота, измеряемая в секундах в минус первой степени;

- фаза колебаний;

Фаза колебаний - физическая величина, при заданной амплитуде и коэффициенте затухания, определяющая состояние колебательной системы в любой момент времени, или проще: аргумент синуса.

- начальная фаза колебаний;

А - амплитуда колебаний;

При начальных условиях t=0 q=q₀, :

C₁=q₀; .

Колебания такого вида называют затухающими.

- условный период затухающих колебаний (он больше периода свободных колебаний консервативной системы Т);

- условная амплитуда затухающих колебаний.

В расчетной схеме не учитывались другие виды сопротивлений, кроме линейно-вязкого. Из-за этого колебания должны прекратиться при . Учет сил сухого трения приводит к прекращению колебаний через конечный промежуток времени.

- постоянная времени затухающих колебаний. За каждый промежуток времени условная амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз. Обычно полагают, что по истечении времени, равного , затухающие колебания можно условно считать прекратившимися.

2) Центр удара.

Удар - механическое явление при котором происходит конечное измменение скоростей точки системы за очень малый промежуток времени.

Центр удара - точка, в которой приложен импульс при отстутствии ударных реакций подшипников.

Импульс силы (количество движения) - векторная физическая величина, являющаяся мерой действия силы за некоторый промежуток времени.

Для того, чтобы ударные реакции в опорах отсутствовали необходимо, чтобы импульс был перпендикулярен оси вращения тела Oz.

Рассмотрим тело вращающееся вокруг оси z.

Воспользуемся теоремой об изменении количества движения:

В проекции на ось Х:

Воспользуемся теоремой об изменение кинетического момента:

Если центр масс тела находится на оси вращения, то центр удара отсутсвует.

Итак, чтобы при приложении к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, ударного импулься не возникали ударные реакции в опорах, т.е. чтобы существовал центр удара, необходимо и достаточно выполнить следующие условия:

1) ударный импульс должен быть перпендикулярен плоскости, проходящей через ось вращения тела и его центр масс;

2) точка пересечения линии действия ударного импульса с плоскостью, проходящей через ось вращения тела и его центр масс, должна лежать в этой плоскости по одну сторону от оси вращения вместе с центром масс;

3) ударный импульс, произвольной по величине, должен лежать в плоскости, перпендикулярной оси вращения и проходящей через точку О, для которой ось вращения является главной осью инерции тела.