Билет 26
1) Малые движения системы с линейным сопротивлением. Затухающее неколебательное движение.
Колебательное движение механической системы - такое движени, при котором все ее обобщенные координаты или хотя бы одна из них изменяется с неоднократным возрастанием и убыванием.
Малые колебания - колебания, при которых возвращающая сила, действующая на тело, пропорциональна его отклонению от состояния равновесия, или проще: тип движения механических систем вблизи своего положения устойчивого равновесия.
Устойчивое равновесие - равновесие, при котором малое возмущение системы приводит к ее малому отклонению от состояния равновесия.
Равновесие тела устойчиво:
- если его потенциальная энергия имеет минимальное значение;
- если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями.
Дифференциальное уравнение малых движений системы с линейным сопротивлением имеет вид:
,
где - коэффициент затухания; - круговая или циклическая частота.
а - обобщенный коэффициент инерции; b - обобщенный коэффициент сопротивления; с - обобщенный коэффициент жесткости.
Характерестическое уравнение:
.
Корни характерестического уравнения:
.
Характер движения системы будет существенно зависеть от соотношения между величинами и . Возможны три случая:
1) < - случай малого сопротивления, уравнение имеет комплексно-сопряженные корни;
2) = - случай критического сопротивления (резонанс), уравнение имеет кратные корни;
3) > - случай большого сопротивления, уравнение имеет два вещественных отрицательных корня.
Затухающее неколебательное движение мы имеем в случае критического сопротивления (=) и в случае большого сопротивления (>).
Рассмотрим случай =.
При кратных корнях общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
.
При начальных условиях t=0 q=q0, :
C1=q0; .
Решение ДУ может обратиться в ноль только один раз, если константы C1 и C1 разные знаки. Для этого начальное отклонение и начальная скорость должны иметь разные знаки, и при этом необходимо выполнение условия .
Видно, что движение не имеет колебательного характера и отсутствуют какие-либо признаки периодичности. Такое движение называют апериодическим, а с учетом рассмотрения критического сопротивления - предельно апериодическим.
Теперь рассмотрим случай большого сопротивления (>).
,
где .
Поскольку k<, оба корня характеристического уравнения будут отрицательными.
Общее решение ДУ в этом случае будет иметь вид:
.
При начальных условиях t=0 q=q0, :
; .
В этом случае движение также имеет апериодический характер, аналогичный представленному на рисунке выше, но с увеличением графики растягиваются вдоль оси абсцисс, поскольку с возрастанием вязкого сопротивления при прочих равных условиях скорость движения убывает.
2) Принцип возможных перемещений.
Принцип возможных перемещений (Лагранжа): Для равновесия механической системы, подчиненной голономным, идеальным, стационарным и неосвобождающим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил приложенных к точкам системы была равна нулю на любом возможном перемещении.
или в декартовых координатах:
.
Положение равновесия - такое положение механической системы, в котором она может находиться сколь угодно долго, если в начальный момент времени система была приведена в это положение с нулевыми скоростями.
Голономная связь - механическая связь, налагающая ограничения только на положения (или перемещения) точек и тел системы.
Идеальная связь - связь у которой .
Связи подразделяются на стационарные и нестационарные в зависимости от того, входит в явном виде время в уравнение связи или нет. Связь, уравнение которой имеет вид , является голономной и стационарной. Для голономной нестационарной связи уравнение будет таким: .
Возможное перемещение - такое бесконечно малое (элементарное) мысленное перемещение, которое допускается, в рассматриваемый момент времени, связями наложенными на точку.
Элементарная работа - возможная работа силы на возможном перемещении.
Докажем необходимость принципа возможных перемещений:
, k=1..N
, k=1..N
для идеальных связей, следовательно:
Докажем достаточность методом от противного:
Предположим, что одна из точек находится не в равновесии.
, но , что противоречит условию.