Билет 22

1) Силовая функция и потенциальная энергия потенциального силового поля. Условия существования силовой функции. Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии.

Закон сохранения механической энергии.

Сумма кинетической и потенциальной энергии называется полной энергией Е механической системы. Системы, для которых выполняется закон, сохранения механической энергии, называются консервативными.

Формула (15.114) выражает закон сохранения механической энергии для механической системы: если все силы, действующие на систему, потенциальны, то при движении системы ее полная механическая энергия постоянна.

Следует отметить, что закон сохранения механической энергии справедлив и в том случае, когда кроме потенциальных имеются и непотенциальные силы, но которые при движении системы не совершают работы.

(дополнительно можно посмотреть 08. Потенциальное силовое поле. Силовая функция и потенциальная энергия поля. Поверхности уровня и их свойства.)

2) Затухающее неколебательное движение в случае "большого" сопротивления.

Колебательное движение механической системы - такое движени, при котором все ее обобщенные координаты или хотя бы одна из них изменяется с неоднократным возрастанием и убыванием.

Малые колебания - колебания, при которых возвращающая сила, действующая на тело, пропорциональна его отклонению от состояния равновесия, или проще: тип движения механических систем вблизи своего положения устойчивого равновесия.

Устойчивое равновесие - равновесие, при котором малое возмущение системы приводит к ее малому отклонению от состояния равновесия.

Равновесие тела устойчиво:
- если его потенциальная энергия имеет минимальное значение;
- если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями.

Дифференциальное уравнение малых движений системы с линейным сопротивлением имеет вид:

,

где - коэффициент затухания; - круговая или циклическая частота.

а - обобщенный коэффициент инерции; b - обобщенный коэффициент сопротивления; с - обобщенный коэффициент жесткости.

Характерестическое уравнение:

.

Корни характерестического уравнения:

.

Характер движения системы будет существенно зависеть от соотношения между величинами и . Возможны три случая:

1) < - случай малого сопротивления, уравнение имеет комплексно-сопряженные корни;

2) = - случай критического сопротивления (резонанс), уравнение имеет кратные корни;

3) > - случай большого сопротивления, уравнение имеет два вещественных отрицательных корня.

Рассмотрим случай большого сопротивления (>).

,

где .

Поскольку k<, оба корня характеристического уравнения будут отрицательными.

Общее решение ДУ в этом случае будет иметь вид:

.

При начальных условиях t=0 q=q₀, :

; .

В этом случае движение имеет апериодический характер, аналогичный представленному на рисунке выше, но с увеличением графики растягиваются вдоль оси абсцисс, поскольку с возрастанием вязкого сопротивления при прочих равных условиях скорость движения убывает.